《初一上册几何证明题【精彩6篇】》

几何证明 篇1

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗？

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．） ∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

22

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初中几何证明题分类 篇2

证明两线段相等

1、两全等三角形中对应边相等。

2、同一三角形中等角对等边。

3、等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4、平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5、直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7、角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8、过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11、两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 。

13、等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1、两全等三角形的对应角相等。

2、同一三角形中等边对等角。

3、等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4、两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5、同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8、相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10、等于同一角的两个角相等。证明两条直线互相垂直

1、等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2、三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3、在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4、邻补角的平分线互相垂直。

5、一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6、两条直线相交成直角则两直线垂直。

7、利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8、利用勾股定理的逆定理。

9、利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1、垂直于同一直线的各直线平行。

2、同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3、平行四边形的对边平行。

4、三角形的中位线平行于第三边。

5、梯形的中位线平行于两底。

6、平行于同一直线的两直线平行。

7、一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

2、在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3、延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4、取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5、利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明线段不等

1、同一三角形中，大角对大边。

2、垂线段最短。

3、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4、在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6、全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1、同一三角形中，大边对大角。

2、三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3、在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5、全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1、利用相似三角形对应线段成比例。

2、利用内外角平分线定理。

3、平行线截线段成比例。

4、直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

6、利用比利式或等积式化得。

例4. 已知：如图4所示，ab＝ac，∠。 a?90?，ae?bf，bd?dc

求证：fd⊥ed

三。 证明一线段和的问题

例5. 已知：如图所示在？中，？，∠bac、∠bca的角平分线ad、ce相交于o。 abcb?？60

求证：ac＝ae＋

cd

例6. 已知：如图所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，？?。 eaf45?

求证：ef＝be＋

df

例7 如图所示，已知？为等边三角形，延长bc到d，延长ba到e，并且使ae＝bd，连结ce、abc

de。

求证：ec＝

ed

初一几何证明题 篇3

初一《几何》复习题2014--6—29姓名：一．填空题

1．过一点

2．过一点，有且只有直线与这条直线平行；

3．两条直线相交的，它们的交点叫做；4．直线外一点与直线上各点连接的中，最短；a b 5．如果c[图1]6．如图1，ab、cd相交于o点，oe⊥cd，∠1和∠2叫做，∠1和∠3叫做，∠1和∠4叫做，∠2和∠3叫做；a7．如图2，ac⊥bc，cd⊥ab，b点到ac的距离是a点到bc的距离是，c点到ab的距离是d43

8．如图3，∠1=110°，∠2=75°，∠3=110°，∠4=；cb

二．判断题[图2][图3] 1．有一条公共边的两个角是邻补角；（）2．不相交的两条直线叫做平行线；（）

3．垂直于同一直线的两条直线平行；（）4．命题都是正确的；（）

5．命题都是由题设和结论两部分组成（）6．一个角的邻补角有两个；（） 三．选择题

1．下列命题中是真命题的是（）a、相等的角是对顶角b、如果a⊥b，a⊥c，那

么b⊥cc、互为补角的两个角一定是邻补角d、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 2.下列语句中不是命题的是（）a、过直线ab外一点c作ab的平行线cf b、任意两个奇数之和是偶数c、同旁内角互补，则两直线平行d、两个角互为

补角，与这两个角所在位置无关a 3．如图4，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则需 （）da、∠1=∠3b、∠2=∠3c、∠1=∠4d、 ab∥cdc [图4] 4．将命题“同角的补角相等”改写成“如果？?，那么？?”的形式，正确的是（）

a．如果同角的补角，那么相等b．如果两个角是同一个角，那么它们的补角相等 c．如果有一个角，那么它们的补角相等d．如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等 四．解答下列各题 ：p 1. 如图5，能表示点到直线（或线段）的距离的线段qac 有、、；abf 2.如图6，直线ab、cd分别和ef相交，已知ab∥cd，orebba平分∠cbe，∠cbf=∠dfe，与∠d相等的角有∠[图5][图6]d∠、∠、∠、∠等五个。c 五．证明题e[图8]如图7，已知：be平分∠abc，∠1=∠3。求证：de∥bcb[图7]cadb

六．填空题

1．过一点可以画条直线 ，过两点可以画 2．在图8中，共有条线段，共有个锐角，个直角，∠a的余角是； 3．ab=3.8cm，延长线段ab到c，使bc=1cm，再反向延长ab到d，使ad=3cm，e是ad中点，f是cd的中点，则ef=cm ；

4．35.56°=度 分秒；105°45′15″—48°37′26 ″ 5．如图9，三角形abc中，d是bc上一点，e是ac上一点，ad与be交于f点，则图中共有e 6．如图10，图中共有条射线，七．计算题bdc 1．互补的两个角的比是1：2，求这两个角各是多少度？[图9]

a2．互余的两角的差为15°，小角的补角比大角的补角大多少？e

bdc[图10] 1．如图11，aob是一条直线，od是∠boc的平分线，若∠aoc=34°56′求∠bod的度数；

dc 八．画图题。1 。已知∠α，画出它的余角和补角，并表示出来aob

[图11]北 2.已知∠α和∠β，画一个角，使它等于2∠α—∠β北偏西20

β 3.仿照图12，作出表示下列方向的射线：西东 ⑴北偏东43° ⑵南偏西37° ⑶东北方向 ⑷ 西北方向 九．证明题[图12]南 两直线平行，内错角的平分线平行（要求：画出图形，写出已知、(推荐访问范文网求证，并进行证明） 已知：求证：证明：

几何证明 篇4

几何证明

1、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2、已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4、如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5、 如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6、如图，已知AB//CD，B40，是BCE的平分线，

A

D

F

B

C

E

CM，求BCM的度数。

7、如图若FD//BE，求123的度数

A

N

M

C

D

E

第三题

o

8、如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9、已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10、，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

B

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

oo

12、 在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

oo

求BAE的度数

A50oD44 13. 已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

E

o

14、 ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16、 AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ

o

17、 中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题

浅谈初中几何证明题教学 篇5

浅谈初中几何证明题教学

学习几何对培养学生逻辑思维及逻辑推理能力有着特殊的作用。对于众多的几何证明题，帮助学生寻找证题方法和探求规律，对培养学生的证题推理能力，往往能够收到较好的效果，这对学生证明中克服无从下手，胡思乱想，提高解题的正确性和速度，达到熟练技巧是有积极作用的。在几何证明题教学中，我是从以下几方面进行的：

一、培养学生学会划分几何命题中的“题设”和“结论”。

1、每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，要求学生从命题的结构特征进行划分，掌握重要的相关联词句。例：“如果？?，那么？?。”“若？?，则？?”等等。用“如果”或“若”开始的部分就是题设。用“那么”或“则”开始的部分就是结论。有的命题的题设和结论是比较明显的。例：如果一个三角形有两个角相等（题设），那么这两个角所对的边相等（结论）。但有的命题，它的题设和结论不十分明显，对于这样的命题，可要求学生将它改写成“如果？?，那么？?”的形式。例如：“对顶角相等”可改写成：“如果两个角是对顶角（题设），那么这两个角相等（结论）”。

以上对命题的“题设”和“结论”划分只是一种形式上的记忆，不能从本质上解决学生划分命题的“题设”、“结论”的实质问题，例如：“等腰三角形两腰上的高相等”学生会认为这个命题较难划分题设和结论，认为只有题设部分，没有结论部分，或者因为找不到“如果？?，那么？?”的词句，或者不会写成“如果？?，那么？?”等的形式而无法划分命题的题设和结论。

2、正确划分命题的“题设”和“结论”，必须使学生理解每个数学命题都是一个完整无缺的句子，是对数学的一定内容和一定本质属性的判断。而每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，是判断一件事情的语句。在一个命题中被判断的“对象”是命题的“题设”，也就是“已知”。判断出来的“结果”就是命题的“结论”，也就是“求证”。总之，正确划分命题的“题设”和“结论”，就是要分清什么是命题中被判断的“对象”，什么是命题中被判断出来的“结果”。

在教学中，要在不断的训练中加深学生对数学命题的理解。

二、培养学生将文字叙述的命题改写成数学式子，并画出图形。

1、按命题题意画出相应的几何图形，并标注字母。

2、根据命题的题意结合相应的几何图形，把命题中每一个确切的数学概念用它的定义，数学符合或数学式子表示出来。命题中的题设部分即被判断的“对象”写在“已知”一项中，结论部分即判断出来的“结果”写在“求证”一项中。

例：求证：邻补角的平分线互相垂直。

已知：如图∠aoc+∠boc=180°

oe、of分别是∠aoc、∠boc的平分线。

求证：oe⊥of

三、培养学生学会推理证明：

1、几何证明的意义和要求

对于几何命题的证明，就是需要作出一判断，这个判断不是仅靠观察和猜想，或反通过实验和测量感性的判断，而必须是经过一系列的严密的逻辑推理和论证作出的理性判断。推理论证的过程要符合客观实际，论证要有充分的根据，不能凭主观想象。证明中的每一点推理论证的根据就是命题中给出的题设和已证事项，定义、公理和定理。换言之，几何命题的证明，就是要把给出的结论，用充分的根据，严密的逻辑推理加以证明。

2、加强分析训练、培养逻辑推理能力

由于命题的类型各异，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视问题的分析，执果索因、进而证明，这里培养逻辑思维能力的好途径，也是教学的重点和关键。在证明的过程中要培养学生：在证明开始时，首先对命题竹：分析、推理，并在草稿纸上把分析的过程写出来。初中几何证题常用的分析方法有：

①顺推法：即由条件至目标的定向思考方法。在探究解题途径时，我们从已知条件出发进行推理。顺次逐步推向目标，直到达到目标的思考过程。

如：试证：平行四边形的对角线互相平分。

已知：◇abcd，o是对角线ac和bd的交点。

求证：ca=oc、ob=od

分析：

证明：∵四边形abcd是◇

∴ ab∥cdab=dc

∴ ∠1=∠4∠2=∠3

在△abo和△cdo中

∴ △abo≌△cdo（asa）

∴ oa=ocob=od

②倒推法：即由目标至条件的定向思考方法。在探究证题途径时，我们不是从已知条件着手，而是从求证的目标着手进行分析推理，并推究由什么条件可获得这样的结果，然后再把这些条件作结果，继续推究由什么条件，可以获得这样的结果，直至推究的条件与已知条件相合为止。

如：在△abc中，ef⊥abcd⊥abg在ac上且∠1=∠2，求证：∠agd=∠acb

分析：

要证∠agd=∠acb就要证dg∥bc，就要证：∠1=∠3。要证∠1=∠3，就要证：∠2=∠3证明：△在abc中

③倒推———顺推法：就是先从倒推入手，把目探究到一定程度，再回到条件着手顺推，如果两个方向汇合了，问题的条件与目标的联系就清楚了，与此同时解题途径就明确了。

3、学会分析

在几何证明的教学过程中，要注意培养学生添辅助线的能力，要注意培养学生的创新思维能力和处理问题的机智能力；要使学生认识到在几何证明题中，辅助线引导适当，可使较难的证明题转为较易证明题。但辅助线不能乱引，而且有一定目的，在一定的分析基础上进行的。因此怎样引辅助线是依据命题的分析而确定的。

例：如图两个正方形abcd和oefg的边长都是a，其中点o交abcd的中心，og、oe分别交cd、bc于h、k。

分析：四边形okch不是特殊的四边形，直接计算其面积比较困难，连 oc把它分别割成两部分，考虑到abcd为正方形，把△ock绕点o按顺时针方向旋转90°到△odh，易证△ock≌△odh∴s△odh

∴sokch=s△och［下转50页］

［上接49页］=s△odh+s△dch=s△ocd

四、培养学生证题时养成规范的书写习惯

用填充形式训练学生证题的书写格式和逻辑推理过程。让学生也实践也学习证题的书写格式，使书写规范，推理有根据。经过一段时间的训练后，一转入学生独立书写，这样，证题的推理过程及书写都比较规范。

如：已知ab∥ef ∠1+∠2=180°求证：cd∥ef

证：∵∠1+∠2=180°()

综上可得：对于初中几何证题，教师要反复强调这样一个模式：要什么———有什么———缺什么———补什么。按照上述模式，反复训练，学生是能够逐步熟悉几何证题的格式，掌握初中几何证题的正确方法。

初中几何证明题 篇6

（1） 如图，在三角形abc中，bd,ce是高，fg分别为ed,bc的中点，o是外心，求证ao∥fg 问题补充：

证明:延长ao,交圆o于m,连接bm,则:∠abm=90°，且∠m=∠acb.

∠aec=∠adb=90°，∠eac=∠dab,则⊿aec∽⊿adb,ae/ad=ac/ab;

又∠ead=∠cab,则⊿ead∽⊿cab,得∠aed=∠acb=∠m.

∴∠aed+∠bam=∠m+∠bam=90°，得ao⊥de.---------------------------------------(1)

连接dg,eg.点g为bc的中点，则dg=bc/2;（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 同理可证:eg=bc/2.故dg=eg.

又f为de的中点，则fg⊥de.（等腰三角形底边的中线也是底边的高）-----------------(2) 所以，ao∥fg.

（2） 已知梯形abcd中，对角线ac与腰bc相等，m是底边ab的中点，l是边da延长线上一点连接lm并延长交对角线bd于n点

延长lm至e，使lm＝me。

∵am＝mb，lm＝me，∴albe是平行四边形，∴al＝be，al∥eb，∴ln/en＝dn/bn。

延长交ab于f，令lc与ab的交点为g。。

∵ab是梯形abcd的底边，∴bf∥cd，∴/fn＝dn/bn。

由ln/en＝dn/bn，/fn＝dn/bn，得：ln/en＝dn/bn，∴lc∥fe，∴∠glm＝∠feb。

由al∥eb，得：∠lag＝∠ebf，∠alm＝∠bem。

由∠alm＝∠bem，∠glm＝∠feb，得：∠alm－∠glm＝∠bem－∠feb，

∴∠alg＝∠bef，结合证得的∠lag＝∠ebf，al＝be，得：△alg≌△bef，∴ag＝bf。

∵ac＝bc，∴∠cag＝∠cbf，结合证得的ag＝bf，得：△acg≌△bcf，∴acl＝∠b。

（3） 如图，三角形abc中，d,e分别在边ab,ac上且bd=ce,f,g分别为be,cd的中点，直线fg交

ab于p,交ac于q.求证:ap=aq

取bc中点为h

连接hf,hg并分别延长交ab于m点，交ac于n点

由于h，f均为中点

易得：

hm‖ac,hn‖ab

hf=ce/2,hg=bd/2

得到：

∠bmh=∠a

∠h=∠a

又：bd=ce

于是得：

hf=hg

在△hfg中即得：

∠hfg=∠hgf

即：∠pfm=∠qgn

于是在△pfm中得：

∠apq=180°-∠bmh-∠pfm=180°-∠a-∠qgn

在△qng中得：

∠aqp=180°-∠h-∠qgn=180°-∠a-∠qgn

即证得：

∠apq=∠aqp

在△apq中易得到： ap=aq

（4） abcd为圆内接凸四边形，取△dab，△abc，△bcd，△cda的内心o，o，o，o．求证：oooo为矩形． 1234

1234

已知锐角三角形abc的外接圆o，过b,c作圆的切线交于e，连结ae，m为bc的中点。求证角bam=角eac。

设点o为△abc外接圆圆心，连接op；

则o、e、m三点共线，都在线段bc的垂直平分线上。

设am和圆o相交于点q，连接oq、ob。

由切割线定理，得：mb2 = q·ma ；

由射影定理，可得：mb2 = me·mo ；

∴mq·ma = me·mo ，

即mq∶mo = me∶ma ；

又∵ ∠omq = ∠ame ，

∴△omq ∽ △am(推荐打开范文网e ，

可得：∠moq = ∠mae 。

设om和圆o相交于点d，连接ad。

∵弧bd = 弧cd ，

∴∠bad = ∠cad 。

∵∠daq = (1/2)∠moq = (1/2)∠mae ，

∴∠dae = ∠mae - ∠daq = (1/2)∠mae = ∠daq 。

∴∠bae = ∠bad - ∠dae = ∠cad - ∠daq = ∠cam 。

设ad、be、cf是△abc的高线，则△def称为△abc的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为o，

oe⊥ec，od⊥dc，

则cdoe四点共圆，

由圆周角定理，

∠ode=∠oce。

cf⊥fc，ad⊥dc，

则acdf四点共圆，

由圆周角定理，

∠adf=∠acf=∠oce=∠ode，

ad平分∠edf。

其他同理。

平行四边形内有一点p，满足角pab=角pcb，求证：角pba=角pda

过p作ph//da，使ph=ad，连结ah、bh

∴四边形ahpd是平行四边形

∴∠pha=∠pda，hp//=ad

∵四边形abcd是平行四边形

∴ad//=bc

∴hp//=bc

∴四边形phbc是平行四边形

∴∠phb=∠pcb

又∠pab=∠pcb

∴∠pab=∠phb

∴a、h、b、p四点共圆

∴∠pha=∠pba

∴∠pba＝∠pda

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，

若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型abc在平面内的一点，且向量oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2,，则o为三角型abc的（）

只说左边2式子 其他一样

oa2+bc2=ob2+ca2 移项后平方差公式可得

(oa+ob)(oa-ob)=(ca+bc)(ca-bc)化简

得 ba(oa+ob)=ba(ca-bc)

移项并合并得ba(oa+ob+bc-ca)=0

即 ba*2oc=0 所以ba和oc垂直

同理ac垂直bo bc垂直ao哈哈啊是垂心

设h是△abc的垂心，求证：ah2+bc2=hb2+ac2=hc2+ab2．

作△abc的外接圆及直径ap．连接bp．高ad的延长线交外接圆于g，连接cg． 易证∠hcb=∠bcg，

从而△hcd≌△gcd．

故ch=gc．

又显然有∠bap=∠dac，

从而gc=bp．

从而又有ch2+ab2=bp2+ab2=ap2=4r2．

同理可证ah2+bc2=bh2+ac2=4r2．