《排序不等式2最新5篇》

不等式组练习题 篇1

1、解不等式组

3x32x1x,23 1[x2(x3)]1.2

x15x3,22.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围． 2x2xa3

3、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．

（1) 若此车间每天所获利润为y(元），用x的代数式表示y．

（2） 若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件？

柯西不等式与排序不等式练习题 篇2

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

试题内容：柯西不等式与排序不等式 试卷总分：120分考试时间：60分钟

一、 选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1、 a,b,c,dR，不等式ab



2

2

c2d2acbd取等号的条件是（）



2A．abdc0B．adbc0C．adbc0D．acbd0

2、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）

A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为 （）

A．1B

C．2D4、a,b是非零实数，ab1，x1,x2R,Max1bx2bx1ax2，Nx1x2，则M与N的大小关



222

系为 （）

A．MNB．MNC．MND．MN5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则xy的最小值是（）

A．2B．1C

D6、x,y,zR，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,dR，且满足abcd

625 （ ）

A．25B．50C．

22222

2222



2

5D．625

42

28、已知0a,b,c1，且abc2，则abc的取值范围是（）

A．，B．，2C．，2D．，2

333

3二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）

9、x,y

0,1

4444的最大值是

10、设x,y,R，那么xy

11、设

14

的最小值是xy

2

2，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1taxaxn1122

a3x32anxn2的最小值是

12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则

三、解答题（共5小题，每题60分）

239

的最小值是，此时xyz. xyz

b4c4c4a4a4b413、（本小题10分）设a,b,cR，利用排序不等式证明：abc 

2a2b2c



33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s

15、（本小题10分）设nN,n

2，利用柯西不等式证明：

16、（本小题10分）求函数y

x1x2x

3的最小值。 149

41111。 

7n1n22n12nsinx3cosx的值域

sinx2cosx

117、（本小题20分）（2012浙江考试院样卷）题号：03“数学史与不等式选讲”模块

（1） 设a，b，c为实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；（2） 若正实数a，b，c满足abc＝1，求

a4b(ac)



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值．

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

┄┄┄⊙

中学班级姓名 学号考号答 题 卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

16、（本小题共12分）

17、（本小题20分）

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

参 考 答 案

1、 C2. A3. B4. A5. D6. C7.B8. C9. 110. 911.11

112、 ，2,2,3.

11112a1a2a3an

13证明：不妨设0abc,则abc,111

， cba

a4b4c4a4b4c

4abc（逆序和）

abccaba4b4c4a4b4c4

abc（逆序和）

abcbca

b4c4c4a4a4b4

abc

2a2b2c

14解：不妨设1x12x23，由排序不等式，s15. 证明：由柯西不等式得

x1x2x312311

。 1491496

1111

2n1n2nnnn1n22n12n

11112n4n1n22n12n3n17

1111

n1n22n12n111

又：



22

22



1111

2222

2n1

2nn1n2

12

111

nn1n1n22n12n

16、原式可化为

ysinx2cosx1sinx3cosx 即y(y1)sinx(2x3)cosx

利用柯西不等式及sin2xcos21可得

y2(y1)sinx(2x3)cosxsin2xcos2xy12y3



2

2

即y2y12y3 化简得

2y27y50

5

所以函数值域为（-，1），

2

2217、“数学史与不等式选讲”模块

（1） 证明1：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

（1） 证明2：因为a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

（2） 解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(ac)



b4c(a



b)

≥

a（b）c2(abbcca)

c4(a2b2c2)2

≥

12

(a2＋b2＋c2)

a4b(ac)

32，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值为

32

…………10分

分类例析排序不等式的应用（定稿 篇3

龙源期刊网 http://。

分类例析排序不等式的应用

作者：薛毓铃

来源：《福建中学数学》2013年第12期

排序不等式是一个经典不等式，是高中数学竞赛内容及普通高中课标课程的选修内容，其结构规律简明、易于记忆。根据排序不等式的结构特征，对于具有明确大小顺序且数目相同的两组数，当需要考虑它们对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。掌握排序不等式对证明不等式、比较大小、求最值、解应用题等问题大有裨益。

它与“算术平均值≥几何平均值”法相得益彰，展学生数学思维，培养学生的创新能力，凸显排不等式的数学意义，体现学生解题的灵活性和敏性。

排序不等式及证明 篇4

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2，，an（1）b1，b2，，bn（2） 满足

a1a2an（3）b1b2bn（4） 另设

，（5）c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和Sa1bna2bn1anb1 乱序积和S'a1c1a2c2an 似序积和S''a1b1a2b2anbn 那么

SS'S'' 且等式成立当且仅当a1a2an

或者

b1b2bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B00，Bk那么

n

b,i

i1

n1

akbkanBn(ak1ak)Bk

k1

k1

事实上：

n

n

akbk

k1

a

k1n1

k

(BkBk1)an(BnBn1)an1(Bn1Bn2)a1B1

anBn(anBn1an1Bn1)(an1Bn2an2Bn2)(a2a1)B1anBn(ak1ak)Bk

k1

引理2设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有

k

k

k

bicibni1

i1

i1

i1

引理3设实数组（2）满足（4），那么

kk

bibni1

i1

i1

若存在1kmn使等号成立当且仅当b1b2bn

2，证明首先：

SS'a1(bnc1)a2(bn1c2)an(b1)不妨设

k

B00,Bk

(b

i1

ni1

ci)

那么由引理2，有Bk0,Bn0

则由Abel变换以及aiai1，得到(ak1ak)Bk0 所以

n1

'

n1

SSanBn(ak1ak)Bk(ak1ak)Bk0

k1

k1

即SS 同理，设

'

B00,Bk

''

k

(c

i1

i

bi)

则可证

S'S''a1(c1b1)a2(c2b2)an(bn)

n1

(ak1ak)B'k0

k1

要使得等号成立， 即 SS'S''

则对k1,2,，n1,有

(ak1ak)Bk0

(ak1ak)B'k0 那么有下列两种情形：

(i)a1a2an

(ii)存在1mn1，使得a1a2am,amam1 这时必有

'

Bm0,Bm0 从而

m

m

ni1

m

ni1

Bm

(b

i1

ci)

b

i1

ci0

i1

Bm 所以

m

'

mm

i

m

i

i

(c

i1

bi)

cb

i1

i1

0

bni1

i1

b

i

i1

m

由引理3得

b1b2bn

排序不等式 篇5

东安一中奥赛培训专题 《不等式的证明》陈雄武

《排序不等式，琴生不等式》及应用

1、（排序不等式）：设有两组数a1,a 2，满，足，an,bb;，bn,12a1 a2an,b1b2bn，则有a1b1a2b2anbn （顺序和）

a1bi1a2bi2anbin（乱序和）a1bna2bn1anb1（逆序和） 2，（切比雪夫不等式）：若a1a2an，b1b2bn ，则a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn 。nnn

证明：由题设和排序不等式，有a1b1a2b2anbn=a1b

1a2b2anbn， a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1， ……a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1. 将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式。f (x)是定义在实数集M上的函数，且对任意的xl、x2 ∈M，都有

xx，fx1fx22f12，则对任意的xi ∈M（i = 1，2，…，n）

2

3，（Jensen 琴生不等式）设1n，fxinfxii1ni1na2b2b2c2c2a2a2b2c

2。 例1：a,b,cR，求证abc2c2a2bbccaab

例2：在△ABC中，试证：

3aAbBcC。 abc2

例3：设a1,a2,，an是互不相同的自然数，试证1

ana1

1a12。 2n22n2

例4：设b1,b2,，bn是正数a1,a2,，an的一个排列，求证

aa1a2

nn. b1b2bn

例5：设正数a,b,c的乘积abc1，试证：（a1）（b1）(c1

1b1c1

)1. a

例6：设正数a、b、c的乘积abc1,证明

111

3。 22

2a(bc)b(ca)c(ab)2

例7：设实数x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,，zn是y1,y2,，yn的一个置换，证明：

(x

i

1n

i

yi)(xizi)2.i1

n

akn1

例8：设ak是两两互异的正整数（k1,2,)，证明对任意正整数n，均有2。

i1ki1k

n

n

例9：x1,x2,。.。，xnR(n2)，且



x

i1

i

1，证明：i1

n



n

3、已知xi0,(i1,2,，n)，n2,x1x2xn1，求证：(1

1n11

)（1）n（1）nn(n1)nx1x2xn

1111111

证：[（1）n（1）n（1）n]（1）n（1）n（1）n

nx1x2xnx1x2xn

111

)（1）（1） x1x2xn

11

bbbbbb

（利用结论：[(11）(12)(1n)]n1(12n)n)；

a1a2ana1a2an (1

[(1

1111)（1）（1）]1()1x1x2xnx1x2xn

n1n

x1x2xn

x1x2xn1



nn1

111

[（1）（1）（1）]n1n

x1x2xn又x1x2xn

(1(1

111

)（1）（1）(n1)nx1x2xn

1n11

)（1）n（1）nn(n1)nx1x2xn

4、若P为ABC内任一点，求证PAB、PBC、PCA中至少有一个小于或等于30；证：设PAB、PBC、PCA，且PAC'、PBA'、PCB'；PAsinPBsin'



依正弦定理有：PBsinPCsin'sinsinsinsin'sin'sin'

PCsinPAsin'（sinsinsin）2sinsinsinsin'sin'sin'

sinsinsinsin'sin'sin'6

)

6'''1sin6（)(）6

62(

sinsinsin()

330，否则150时，、中必有一个满足30在、、，中必有一个角满足sin