《因式分解的方法与技巧【优秀4篇】》

因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。下面是小编辛苦为大家带来的因式分解的方法与技巧【优秀4篇】，希望大家可以喜欢并分享出去。

初三数学因式分解法 篇1

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

1、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式。

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc。

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）。

分析 我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）。

这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导。

解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

2、拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

例2 分解因式：x3-9x+8。

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。

解法1 将常数项8拆成-1+9。

原式=x3-9x-1+9

=（x3-1）-9x+9

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。

原式=x3-x-8x+8

=（x3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。

原式=9x3-8x3-9x+8

=（9x3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法4 添加两项-x2+x2。

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。

3、换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。 例3 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12。

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难。我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了。

解 设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）。

说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试。

4、双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式。

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 （x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2； （x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3。 这就是所谓的双十字相乘法。

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

例4 分解因式：

x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

因式分解应该注意哪些问题? 篇2

一、要注意到“1”的存在而避免漏项

在提取公因式时，多数同学易忘记观察被分解多项式的项数是多少，更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系，而在分解因式时应注意到“1”在这个多项式分解中的存在和作用。

例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)

错解： 23x+5xy+x=x(3x+5y),这样就漏了“x”这一项，提出“x”后应由“1”来补其位。 正解： 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)

二、提取公因式时要注意符号的变化

牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号，去括号时括号里的各项都要变号”这一运算律，而因式分解与乘法运算之间互为逆变形，首相为负号应提取负号，但加括号并且括号里的`各项都要变号。

例2分解因式2-10x+10xy.

错解： 2-10x+10xy=-10x(x+y),错在括号里没有变号。

正解： 2-10x+10xy=-10x(x-y).

三、要注意整体与个体之间的关系

在公式22a-b=(a+b)(a-b) ，222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中，a、b代表符合这一特点的整个代数式里的整个因式，而不只代表这个代数式里的某一个因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式时要注意整体与个体之间的关系。

例3分解因式29x-1

错解： 29x-1=(9x+1)(9x-1),错在29x-1只能写为2(3x)不能写为29x. 正解： 29x-1=(3x+1)(3x-1).

四、要注意分解完整

因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式的乘积形式，因式分解需要分解到不能再分解为止。

例4分解因式4216x-72x+81

错解： 4216x-72x+81=22(4x-9),很多学生就分解到此为止，但没有注意到24x-9还可以分解。因为24x可以写成2(2x),9可以写成2(3),故24x-9符合平方差公式的特点应继续分解。

正解： 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3) 例5分解因式4x-9 (在实数范围内)

错解： 4x-9=22(x+3)(x-3),错在许多学生还未注意到2(x-3)中的“3”还可以写为

2(3),因此2(x-3)写为2x-2(3),这就符合平方差公式的特点应继续分解。

正解： 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3) 五、应注意因式与整式乘法的关系

因式分解是要把一个多项式分解为几个整式的乘积形式；然而整式的乘法是要把几个正式的乘积形式化成一个多项式的形式。 例6分解因式4224a-2ab+b.

错解： 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),错在又把22(a+b)(a-b)化为了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)

正解： 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。

因式分解的方法与技巧 篇3

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x3 -2x 2-x

x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2

解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m2 +5n-mn-5m

解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n

= (m2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x2 -19x-6

分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-6

1×2+7×(-3)=-19

解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40

解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40

=(x+ 3)2 -(7 ) 2

=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

=(x+10)(x-4)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)

解：2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2

=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}

令y=x+ ,

x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}

= x2 [2(y2 -2)-y-6]

= x2 (2y2 -y-10)

=x 2(y+2)(2y-5)

=x2 (x+ +2)(2x+ -5)

= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)

=(x+1)2 (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)

例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6

解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 ,

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为

f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )

例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

解：令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2

则x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)

=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15

解：令x=2，则x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4

如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

所以 解得

则x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。

初三数学因式分解法 篇4

许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x（2003淮安市中考题）  解：x -2x -x=x（x -2x-1）

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b （2003南通市中考题） 解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = （m -5m ）+（-mn+5n） =m（m-5）-n（m-5） =（m-5）（m-n）

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2

2-21=-19

解：7x2 -19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

对于那些不能利用公式法的。多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x +3x+（ ） -（ ） -40 =（x+ ） -（ ） =（x+ + ）（x+ - ） =（x+8）（x-5）

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

解：bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x2 - x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2（x +1）-x（x +1）-6x =x [2（x + ）-（x+ ）-6

令y=x+ ， x [2（x + ）-（x+ ）-6 = x [2（y -2）-y-6] = x （2y -y-10） =x （y+2）（2y-5） =x （x+ +2）（2x+ -5） = （x +2x+1） （2x -5x+2） =（x+1） （2x-1）（x-2）

8、求根法

令多项式f（x）=0，求出其根为x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f（x）=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知，f（x）=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、图象法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）= f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）=a （b-c）-a（b -c ）+（b c-c b） =（b-c） [a -a（b+c）+bc] =（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x -x -5x -6x-4=（x +ax+b）（x +cx+d） = x +（a+c）x +（ac+b+d）x +（ad+bc）x+bd 所以解得

则x -x -5x -6x-4 =（x +x+1）（x -2x-4）