《2021全国乙卷数学试题及答案优秀3篇》

高考结束后，考生们相互之间都会对答案、估分，但是你知道2021年全国1卷高考数学试题及答案是什么吗？下面是整理的2021全国乙卷数学试题及答案优秀3篇，希望可以启发、帮助到大家。

高三数学学习方法及复习技巧 篇1

课后一分钟回忆及时复习

数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。回归课本，先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，以免欲速则不达。复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径。没有预习，听老师讲课，就抓不住老师讲的重点；而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。同时预习还有利于培养自己的自学能力。

上完课的当天，必须做好当天的复习。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题；分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写）尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，赶紧补完，这样不仅能把当天上课内容巩固下来，而且也能检查当天课堂听课的效果如何，同时也可改进听课方法及提高听课效果。我们可以简记为“一分钟的回忆法”。

避免“会而不对”的错误习惯

解题时应仔细阅读题目，看清数字，规范解题格式，养成良好解题习惯。部分同学（尤其是脑子比较好的同学）自我感觉很好，平时做题只是写个答案，不注重解题过程，书写不规范。但在正规考试中即使答案对了，由于过程不完整而扣分较多。还有一部分同学平时学习过程中自信心不足，做作业时免不了互相对答案，也不认真找出错误原因并加以改正。这些同学到了考场上常会出现心理性错误，导致“会而不对”，或是为了保证正确率，反复验算，费时费力，影响整体得分。这些问题很难在短时间得以解决，必须在平时养成良好解题习惯。

“会而不对”是高三数学学习的大忌，常见的有审题失误、计算错误等，平时都以为是粗心，其实这是一种不良的学习习惯，必须在第一轮复习中逐步克服，否则，后患无穷。可结合平时解题中存在的具体问题，逐题找出原因，看其到底是行为习惯方面的原因，还是知识方面的缺陷，再有针对性地加以解决。必要时要作些记录，也就是“错题笔记”。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷复习一遍。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。

重视“一题多解”“多题同解”

学好数学要做大量的习题，但做了大量的题，数学都未必好，为何会出现这种反差呢？究其原因，是片面追求做题数量，而没有发挥做题的效果。进入复习阶段后，大量的试题铺天盖地而来，这时我们一定要保持清醒的头脑，要有所为，有所不为。学习数学不做题肯定不对，但不能陷入题海不能自拔，要充分发挥教材在知识形成过程中的作用，注意典型例题的示范价值，能够举一反三，重视“一题多解”和“多题同解”，做到以一题带一片。要有针对性地做题，典型的题型，应该规范完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题；要循序渐进，由易到难，对做过的典型题型有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做才能起到事半功倍的效果。

另外，独立思考是数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考，不要一遇到不会的习题就马上去问别人，自己不动脑子，而应该要自己先认真地思考一下，尽量依靠自己的努力克服其中的困难。如经过努力仍不能解决的问题，再虚心请教别人，请教时，不要把问题问得太透。应学会提出问题，提出问题往往比解决问题更难，而且也更重要。

弄清自己错在哪里

每次试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训，尤其是将试卷中出现的错误进行分类，可如下分类：

第一类问题——遗憾之错。就是分明会做，反而做错了的题。比如说，“审题之错”是由于审题出现失误，看错数字等造成的；“计算之错”是由于计算出现差错造成的；“抄写之错”是在草稿纸上做对了，往试卷上一抄就写错了、漏掉了；“表达之错”是自己答案正确但与题目要求的表达不一致，如角的单位混用等。出现这类问题是最后悔的事情。要消除遗憾必须弄清遗憾的原因，然后找出解决问题的办法，如“审题之错”，是否出在急于求成？可采取“一慢一快”战术，即审题要慢、答题要快。

“计算错误”，是否由于草稿纸用得太乱等。建议将草稿纸对折分块，每一块上演算一道题，有序排列便于回头查找。“抄写之错”，可以用检查程序予以解决。

“表达之错”，注意表达的规范性，平时作业就严格按照规范书写表达，学习高考评分标准写出必要的步骤，并严格按着题目要求规范回答问题。

第二类问题——似非之错。记忆不准确，理解不透彻，应用不自如；回答不严密、不完整；第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了；一道题做到一半做不下去了等等。

“似是而非”，就是自己记忆不牢、理解不深、思路不清、运用不活的内容。这表明你的数学基础不牢固，一定要突出重点，夯实基础。你要建立各部分内容的知识网络；全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆；加强对易错、易混知识的梳理；要多角度、多方位地去理解问题的实质；体会数学思想和解题的方法；当然数学的学习要有一定题量的积累，才能达到举一反三、运用自如的水平。

第三类问题——无为之错。由于不会，因而答错了或猜的，或者根本没有答。这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。在高三复习的第一轮中，不要做太难的题和综合性很强的题目，因为综合题大多是由几道基础题组成的，只有夯实了基础，做熟了基础题目，掌握了基本思想和方法，综合题才能迎刃而解。在高三复习时间较紧的情况下，第一阶段要有所为，有所不为，但平时考试和老师留的经过筛选的题目要会做，要做好。

2021高考数学备考知识点 篇2

【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

⒉写出点M的集合；

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式；

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；

③列式——列出动点p所满足的关系式；

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

高考英语语法知识点总结 篇3

1、 at

如： 常用词组有： at noon, at night

表示时间的 at, in, on：表示片刻的时间，at 8 o’clock，at midnight, at the end of, at that time, at the beginning of, at the age of, at Christmas, at New Year 等。

in 表示一段的时间

如：in the morning, in the afternoon, in the evening, in October, in 1998, in summer, in the past, in the future 等。

on 总是跟日子有关，on Monday, on Christmas morning, on the following, on May Day, on a warm morning 等。

2、表示时间的 since 和 from：since 表示从过去到现在的一段时间的过程，常与现在完成时连用：from 表示从时间的某一点开始，不涉及与现在的关系。一般多与现在时、过去时、将来时连用。

如：I hope to do morning exercises from today./ We have not seen each other since 1995.

3、表示时间的 in 和 after：两者都表示“在（某个时间）之后，区别在于in表示“在（一段时间）之后” ，而 after 则表示“在（某一具体时间点之后），in 短语和将来时态连用，after 短语和过去时态或将来时态连用。

如：We’ll be back in three days.

After seven the rain began to fall.

What shall we do after graduation?

After two months he returned. 注意：after 有时也可以表示在一段时间之后（常用在过去时里）

4、表示地理位置的 in, on, to：in 表示在某范围内，on 指与什么毗邻，to 指在某环境范围之外

如：Changchun is in the northeast of China./ Mongolia is on the north of China./ Japan is tothe east of China.

5、表示“在……上”的 on 和 in：on 只表示在某物的表面上，而用 in 表示占去某物一部分，表示……上

如：There is a book on the piece of paper./ There is an interesting article in the newspaper./ He dug a hole in the wall.

6、表示“穿过……”的 through 和 across：through 表示从内部通过，与 in 有关；across 表示“穿过……”，表示从一端至另一端在表面上的通过，与 on 有关。

如：Water flows through the pipe./ The old man walked across the street.

7、in the corner, on the corner, at the corner：in the corn 表示在落，in 指角的内面；on the corner 表示“在角上” ，on 指的不是内面，也不是外面，而含内外兼有之意；at the corner指“在拐角处” 指的是拐角外附近的外面。

如：The lamp stands in the corner of the room./ I met at with him at the street corner./ He sat on the corner of the table.

8、in the end, at the end of, by the end of：in the end 作“最后”“终于”解，可单独使用，后不接介词 of;at the end of 表示“在……末梢”“到……尽头” ，既可指时间，也可以指地上或物体。不可单独使用；by the end of 作“在……结束时”“到……末为止”解，只能指时间，不可单独使用。

如：In the end they reached a place of safety./ At the end of the road stands a beautiful garden./ They decided to have an English evening at the end of this week./ by the

end of last month he had finished the novel

9、表示“关于”的 about 和 on：两者都有“关于”的意思，不过前者为一般用词，而后者表示“关于” ，为较正式的 “论述”

如：He came to tell me about something important./ He wrote a book on science

10、between, among：一般说来，between 表示两者之间，among用于三者或三者以上的中间。

如：You are to sit between your father and me./ He is always happy among his classmates.

注意：但有时说的虽然是三个以上的人或东西，如果强调的是两两相互间接关系，适用于between。

如：Agreements were made between the different countries. 在谈到一些事物或一组事物，

而把它们视为分居两边时用 between。

如：The little valley lies between high mountains.

在谈事物 间的差别时，总是用 between。

如：They don’t know the difference between wheat, coats and barley.

11、besides, except, but, except for：

besides 指除了……还有

如：All went out besides me

except 指“除了，减去什么” ，不能放在句首。

如：All went out except me.

but 与 except 意思近似，表示“除了……外”经常用在 no, all, nobody, anywhere, everything 等和其他疑 问词后面。

如：I never saw him reading anything but the newspaper.；

except for 表示“如无……就， 只是”表明理由细节。

如：His diary is good except for a few spelling mistakes.

12、表示“用”的 in 和 with：表示工具的“用” 、表示“ ，用 with，而表示材料、方式、方法、度量、单位、语言、声音等的 “用” 用 in。

如：He is writing a letter with a pen./ He wrote the letter in pencil

We measured it in pounds./ Read the text in a loud voice./ Tell me the story in English.

13、charge of 和 in the charge of：in 两者都表示 “由谁负责、照顾、管理” 区别在于： charge of 后接被照管的人或物， in the charge of 后面则跟照管的人。

如：Who is in charge of the project

The project is in the charge of an engineer

14、as, like：as 作“作为”“以……地位或身份”解。

如：Let me speak to you as a father.（事实是父亲）

like 作“象……一样”解

如：Let me speak to you like a father.（事实上不是父亲）

15、in front of 和 in the front of：in front of = before，是“在……前面”的意思（不在某物内）

in the front of 则是“在……前部”的意思（在某物内）

如：There is a desk in front of the blackboard./ The boy sat in the front of the car.

16、in, into：into 表示动向，不表示目的地或位置。

如：We walked into the park.；in 通常表示位置。

We walked in the park;

in 和 drop, fall, put, throw, break 等终止性动词连用时，也可以表示动向。

如：I have put the coin in (into) my pocket.我把硬币放进衣袋。