《高中数学的知识点及公式优秀3篇》

数学学习困难的研究是数学教学与实践中一个引人注目的问题，但是数学又是一个拉分很大的科目，大家学习完最好总结一下知识点和公式。这次为您整理了高中数学的知识点及公式优秀3篇，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。

高中数学的知识点及公式 篇1

关键词：移动学习；数字化资源；微信公众平台

中图分类号：G434 文献标志码：A文章编号：1673-8454（2017）05-0041-04

一、引言

现代信息技术的发展，促使人们之间的交流变得越来越方便，媒体技术发展日益体现出移动性、交互性、个性化等特点。这种移动性、交互性的媒体技术正不断被应用于教育领域，各高校均加强建设数字化资源，同时不断更新教学平台以而适应现代信息技术的发展。在众多新型媒体技术中，移动学习悄悄兴起，逐渐成为现代教育中一种新型的学习方式[1-5]。微信作为新型的网络社交工具，将人际互动、信息传播等功能融为一体，在信息技术、移动通信的快速发展下，微信做为新型的教育工具逐渐被公众接受[6-8]。而腾讯公司推出的微信公众平台，不仅可以编译图文信息，而且可利用平台实现信息群发，同时支持用户之间的交流、沟通，成为信息时代重要的社交工具。本文以模拟电子线路为例介绍基于微信公众平台的数字资源建设及移动学习改革。

二、必要性和可行性

1.学生学习方式逐渐改变，教学资源及方式应逐步改善

信息化时代的发展使学习者的学习环境和学习方式发生较大转变。学生的学习环境不再局限在教室、课堂之上，而逐渐转向线下、线上同时学习；学生获取知识的途径不仅仅局限在课本上，更多的将依靠数字化资源。学生获取知识的工具不再是课本，而更多的依赖网络、电脑，移动设备（手机、iPad）等。

在对学生的问卷调查中，当学生碰到问题时，解决问题的途径由图1的问卷调查可以发现，有76%的学生会选择查询网络资源。

同样在图2所示问卷调查中发现，83%的同学观看过相关视频，而且95%的学生赞同利用移动设备学习知识点，几乎全部学生会接受利用手机观看数字化的教学资源。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出：信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视[9]。信息化时代的发展决定了教学资源在形式上发生较大变化。教学资源逐渐由传统的、单一的教材向立体化、数字化的方向发展，这也是现代信息技术发展促使教学资源不断变化，而这种立体化、数字化的教学资源更容易被学生所接受。

由此可见，教学资源数字化、教学方式现代化是势在必行的。

2.国内外都在逐步推进移动化的教学方式改革

移动学习（M-Learning）在国内外悄然兴起，移动学习是现代信息技术与教学资源数字化发展相结合的一种新型信息化学习形式。2000年国际著名的远程教育专家德斯蒙德・基更（Desmond Keegan）博士在上海电视大学校庆提出移动学习，并在其发表的论文《从远程学习到电子学习再到移动学习》中阐述了移动学习的特点[4]。

北京大学现代教育技术中心对移动学习的定义为：移动教育（M-Learning）是指依托目前比较成熟的无线移动网络、国际互联网以及多媒体技术，学生和老师通过使用移动设备更为方便、灵活地实现交互式教学活动。简单而言，移动学习就是使学生能随时、随地、利用移动设备方便的获取必须的教学资源，利用碎片化时间进行学习，同时能通过移动平台和教师、学生进行互动交流[10]。

由此可见，移动学习有以下特点：1）内容碎片化；2）内容简洁明了、短小精悍；3）满足学习者的个性化需求；4）具有一定的互动性。

3.目前国内数字资源建设中存在的问题

教育部《教育信息化十年发展规划（2011-2020年）》指出，人民群众教育需求和世界发达国家水平相比还有明显差距，加快推进教育信息化还面临诸多的困难和挑战[10]。

（1）数字化资源建设缺乏长效机制。近几年，我国教育界不断开展了教学信息化方面的活动，但是这种活动缺乏长效机制，导致教育者开发制作数字化教学资源的动力不足，数字化教学资源建设进度缓慢，这在一定程度上导致MOOC教学及移动学习现代化教学手段很难普及。

（2）数字化资源没有实现“本土化”。目前，更多的是实力雄厚的高校进行数字化资源建设，而且内容偏向本校。这些资源兼容性比较差，直接被以本科教育为主的学校引入后，会出现“水土不服”的现象，因此根据相应的教学计划制作对应的数字化资源显得尤为重要，也就是实现数字化资源“本土化”。

（3）优质课程资源基数少，建设速度缓慢。我国虽然在高校内开展精品课程建设，但课程内容大多为PPT、教案等一般性教学资源，视频资源所占的比重很小，针对性不强，因此学生对精品课程使用率低，而且很多教师仅仅停留在以申报课题为目的，并没有形成长效的建设计划。

（4）数字资源对应课程较为单一。

（5）缺少相关业务培服务。高校中有很多教师教学经验十分丰富，但在信息化手段与教学相结合方面存在较多问题，缺乏制作数字化资源方面的知识和手段。若想利用数字化资源进行教学，必须要有相关的培训服务来做支持。

由此可见，为推进教育信息化的顺利进行，不断加强教学资源数字化是首当其冲的任务。

4.微信公众平台的优势

微信公众平台开放接口丰富、用户体验良好、用户群体庞大、社交功能强大，结合现有数字化资源，可为广大学生构建了交互性强的移动学习环境。微信公众平台的这种特点恰好符合移动学习的特点，因此微信公众平台在高校作为一种方便、快捷的移动学习方式已日益得到师生的认可。可见基于微信的移动学习，可促使学习者利用智能移动设备随时随地进行学习，同时微信良好的交流平台，不仅有利于教学资源的共享，也有利于师生之间的互动、交流，为现代教学提供良好的教学平台。

三、构建移动学习平台

1.申请微信公众平台

教师首先申用于移动教学的微信公众平台账号，图3为申请的“漫步紫金微课堂”的微信公众平台的二维码，学生扫二维码可关注该微信公众号，然后学生可使用微信公众号中的教学资源进行个性化学习，同时遇到问题时可通过公众平台向老师获取个性化指导。同时，为了便于管理，教师可以对用户进行编组，组建学习小组，根据实际情况可以对不同的小组发送不同的教学内容。

2.建设数字化教学资源

利用微信公众平台进行移动学习改革，建设相应的数字化教学资源是首当其冲的任务，移动学习的教学资源有其自身的特点，在建设过程中应遵循教学资源微型化、知识点碎片化、知识点联系化、图文信息直观形象化的原则。

（1）教学资源微型化

移动学习在一定程度上扩展和补充了传统的教学和学习的模式，是课堂的延伸，便于学生利用零碎化的时间巩固、补充知识。移动学习的学习模式与传统的固定、持续的学习方式不同，移动学习的环境属于“非预定、非固定”的，学习者完全可以利用零碎化时间学习，学习地点不仅可以是教室、图书馆，也可以是操场甚至是环境比较嘈杂的公共场所等。在移动学习环境下，有时人的注意力容易受到影响，Stanford University的一项研究成果表明，当学习者处于零碎化、移动化的环境时，人的注意力容易受到外界环境的干扰[11]。因此，在设计移动学习资源时，资源内容应该是微型化的，每个图文信息呈现的内容可以为一个知识点的讲解，也可以为一个例题的分析解答，也可以是某个内容的总结，学习者在短时间内可以完成对图文信息的学习，在一定程度上满足移动学习微型化的要求。

（2）知识点碎片化

移动学习中，学习者时间的零碎化必然要求知识点的碎片化。基于移动学习的数字化教学资源设计，要求知识点碎片化，将课程中原有知识体系有机地拆分、细化，以适应移动学习特点的要求。知识点碎片化过程中应避免知识点过于庞大、篇幅过长，避免视频时间过长，应尽可能小篇幅、简单结构的知识点。例如斯坦福学习实验室的每个知识模块的学习时间控制在30 秒～10 分钟之间[11]。此外，移动学习作为传统教学的辅助手段，其知识点呈现形式与课堂讲解的形式不同，应该是知识的总结、巩固与升华。在对模拟电子线路知识点碎片化中，通过分析提炼出36个重要的知识点，包括重要的方法，典型题目的分析，相关知识点的分析与比较，同时将理论分析与仿真验证相结合，加深学生对知识点的理解。每个知识点都编辑成公众平台的“图文信息”，在图文信息中利用文本、图片、视频呈现教学内容，视频时间控制在3-10分钟，学生在10分钟之内可以完成对该知识点的学习。

（3）知识点联系化

知识点碎片化并不是学习内容简单的分割，并不意味着各知识点之间没有任何联系，在知识点碎片化过程中要按照学科知识体系特点以及知识点的相关性、层次性，有机地将知识点进行片段化的梳理，同时要注意已学知识点和将要学习知识点之间的联系，这样可以使学习者更好的掌握知识点，提高对知识点的理解和应用。知识点的划分还要以学生为中心，遵循学生对知识的认知规律，同时碎片化过程中要保持某个知识点前后联系，内容完整、结构逻辑性强。

例如：模拟电子线路中的功率放大电路，首先总结了功率放大电路需要用到哪些已学过的知识点，同时也列出需要掌握的知识点和分析方法，用关系图的形式展示，如图4所示。这种结构图清晰明了，学习者可以直接了解知识之间的联系，并逐渐学会用所学知识解决新问题。在制作“图文信息”时，更侧重于对各类功率放大电路的比较分析与总结。扫描视频的二维码可以观看功率放大电路部分的视频。

同时，每个“图文信息”虽然篇幅较短，但是也要注重内容的完整性，“漫步紫金微课堂”中的每一个模拟电子线路的图文信息都由5部分组成，如图5所示，包括标题、引言、正文、总结、思考。

引言简要说明该“图文信息”讲解的内容，正文利用文本、图片、视频展示知识点，总结部分呈现该图文信息的重要点，思考部分提出新问题，提示学生用本次学习的知识点解决新问题。

（4）图文信息直观形象化

用于移动学习的移动终端屏幕大小有限，若每屏信息过多、过繁会使学习者产生焦躁的情绪，失去学习的耐心。因此设计教学媒体信息时，界面尽可能做到简洁明了，色彩搭配合适，减少多余的干扰信息。同时，为了方便学习者能够快速找到所需的信息，可以设计相应的菜单、目录，对知识的重难点用醒目的颜色标注。例如我们在“漫步紫金微课堂”下方设置了相关菜单，包括“必要的基础知识”、“各章知识点总结”、“每章PPT”。不知识点的媒体表现形式可以多样化，不同的知识点可以采用不同的方式呈现，按照知识点的特点，可以选择文本、图片、视频、动画等形式呈现。例如：对于模拟电子线路中的重要概念（偏置、动态性能指标等）、重要方法（静态分析、动态分析等）采用文本的形式呈现，文本字体不可过小，行距不可过窄；而知识点的结构图则用图片的形式呈现，直观形象；题目的求解过程，仿真验证过程等则用视频的形式呈现；抽象的知识点则用动画的形式呈现，形象化的方式便于读者理解。

四、信息与反馈

数字化资源建设完成且微信公众平台构建完成后，就可以向学习者教学资料了。

根据教学进度利用微信公众平台的“群发功能”不同的图文信息。教师也可以根据情况讨论题、练习题等，同学、老师之间可以互动讨论。在每个图文信息下方都预留了留言栏，学习者在遇到难题时，可以根据自身情况向老师提出疑问，教师可以在后台看到学生的留言候，可以进行实时解答。学生在自主学习过程中，也可根据自身情况学习相关的知识点，制定个性化的学习进程。通过师生互动，教师可以根据学生的实际情况为学生提供个性化指导，为学生自主学习提供支持与帮助。

教师可以利用微信公众号后台的数据统计功能查看学生学习的情况，可以统计关注公众号人数的变化情况，可以统计菜单观看次数与人数，可统计图文信息的阅读人数和阅读次数等。我们统计了近一个月以来图文信息的阅读人数和阅读次数，如图6所示，从统计结果可以看出，有的图文信息阅读人数较多，而且每个人观看次数超过一次，如9月13日的图文信息阅读总人数约300，总阅读次数达到1100次，每人阅读次数接近4次，9月25日的图文信息阅读人数和阅读次数也很多，这在一定程度上说明学生对这部分知识点存在疑问，这些知识点存在一定的难度。这些数据提醒教师，有些知识点学生掌握的比较好，有些知识点学生没有理解透彻，教师应该在后续的课程中加强对这些知识点的讲解。

这种统计数据，微信公众平台每天都会更新，教在图文信息后应关注学生学习的情况，根据统计数据有的放矢，提高教学效果。

五、总结

作为教师，要将传统教育的优势与现代教学理念与教学方式有机结合，不断丰富数字化教学资源，不断更新教学方式和教学平台，将线上环境和传统课堂环境有机结合，一方面为教师创建优越的施教环境，另一方面赋予学生个性化、完整、深度的学习体验，使学生自主、积极的投入到学习中，提高学习效率[12]。

实践证明，基于微信公众号的移动学习是一种行之有效的现代学习方式，这种学习方式充分利用移动媒体工具，依靠方便快捷的通信网络，增强了师生之间的互动交流，拓宽了学生获取知识的途径。

参考文献：

[1]Frohberg，D.，G？th，C.&Schwabe，G..Mobile Learning Projects：A Critical Analysis of the State of the Art[J].Journal of Computer Assisted Learning， 2009），（4）：307-331.

[2]Park，Y..A Pedagogical Framework for Mobile Learning：Categorizing Educational Applications of Mobile Technologies into Four Types[J].International Review of Research in Open and Distance Learning， 2011，（12）：78-102.

[3]郭绍青，黄建军，袁庆飞。国外移动学习应用发展综述[J].外国电教，2011（5）：105-109.

[4]王佑镁，王娟，杨晓兰，伍海燕。近二十年我国移动学习研究现状与未来趋势――基于中西方对比的研究综述[J].现代远程教育研究，2013（1）：49-55.

[5]赵慧，史彦。国内移动学习资源研究综述[J].成人教育，2014（9）：28-30.

[6]苗宁。基于微信的大学英语移动学习策略研究[J].中国电化教育，2016（350）：136-140.

[7]李丹妍，曹杰颖。我国教育领域微信应用可视化研究[J].中国电化教育，2016（350）：39-43.

[8]范文翔，马燕，李凯，邱炳发。移动学习环境下微信支持的翻转课堂实践探究[J].开放教育研究，2015，21（3）：90-97.

[9]教育信息化十年发展规划（2011-2020年）[J]，中国教育信息化，2012（5）.

[10]翟雪松，袁婧。MOOC在我国高等教育中的发展困境及对策研究[J].电化教育研究，2014（10）：97-103.

高中数学的知识点及公式 篇2

1．新理念下数列教学设计的内容

按通常的观念，教学设计是指运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料和教学活动的具体计划的系统化过程。教学设计主要解决了“教什么”、“如何教”、“教的如何”的问题，即教学设计是以设计解决教学问题的方法和步骤，形成教学方案，并对方案实施后的教学效果做出价值判断的规划过程和操作程序，其目的是优化教学过程，提高教学效果，创造更加合理高效的教学。

1.1 知识结构

数列这一章应主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分，重点是等差数列以及等比数列这两部分。数列这一部分主要是数列的概念、特点、分类以及数列的通项公式；等差数列和等比数列这两部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前 n 项和公式；数列的应用除了渗透在等差与等比数列内宾的堆放物品总数的计算以及产品规格设计的某些问题外，重点是新理念下研究性学习专题，即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题。

1.2 数学概念

数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，它的定义方式有描述性的，指明外种延的，有种概念加类差等方式。一个数学概念需要记住名称，叙述出本质属性，体会出所涉及的范围，并应用概念准确进行判断。数列、等差数列、等比数列、通项公式等都属于数学概念，而且都属于陈述性概念，在设计这些概念的教学时，教师要注意向同学表明这些定义所揭露的概念的特点、本质，因为这些概念既是后续学习相应公式以及性质的基础，更是同学们准确解题的依据。

1.3 数学公式

公式在一定的范围内具有普遍适用性，因而也具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数。有的学生在学习公式时，可以在短时间内掌握，而有的学生却要反来复去地体会，才能跳出千变万化的数字关系的泥堆里。在数列这一章主要涉及到等差数列的通项公式，等差数列前 n 项和公式及其变形公式，等比数列通项公式，等比数列前 n 项和公式及其变形公式。要使同学能牢固记住并熟练应用这些公式就必须让他们懂得公式的来龙去脉，掌握其推导思想及过程。在这一章有很多的变形公式，因此，教师要明确告诉学生哪个公式适用于哪种情形，以使解题变得简便易行。

1.4 数学方法

数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法：

（1）不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。

（2）倒叙相加法 等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。

（3）错位相减法 错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想方法。

（4）函数的思想方法 数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。

（5）方程的思想方法 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第 n 项和前 n 项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。

2．新理念下影响教师进行数列教学设计的因素分析

在数学知识体系内部，数列占据着非常重要的地位，而且在现实生活当中有着具大的应用价值，对学生能力的培养也起到了不可估量的作用，因此教师要重视数列的教学。那么，在新的理念下，如何进行数列的教学设计才能将知识更好地传给学生，才能对学生的发展有帮助，才可以称得上好的教学设计呢？哪些因素影响了教师进行数列的教学设计呢？为此笔者从一线优秀数学教师、高中学生以及教材编订者三个维度进行了调查、研究。

2.1 线优秀教师如何看待数列的教学设计

教师是教学的实施者，是教学设计的实践者，尤其是优秀的教师，他们积极了大量

的教学经验，因此有绝对充分的发言权，为此，我采访了几位特级和高级教师，现将他

们的观点对比分析如下：

（1）重视教学情境的设置以及教学案例的使用

他们一致认为要使学生学好数学，首先要培养学生的学习兴趣，而恰当的教学情境及教学案例的使用不但能更好的启发学生，激发学生的学习兴趣，而且有助于增强学生的应用意识。

（2）对数列及其相关概念的教学设计说法不一

有的教师觉得应该先举数列的实例，让学生自己体会数列特点，组织同学讨论，并启发学生发现知识，因为这对于培养学生的数学学习能力，激发和培养学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识，增强学生合作、探究的能力都非常有帮助。有的教师则持另一种态度，他们认为由于时间的原因，可能会减少把知识转化为能力的环节，而以教师讲解为主的教学设计则可以在有限的时间内传授给学生更多的知识，教学效果更好，而且对于学习能力、接受能力差的学生更适合这种风格的教学设计。

（3）对等差数列概念的教学，采用以学生为中心的教学设计风格更适合学生深刻理解知识

“等差数列”这个概念本身就很形象地描述了它的本质，因此教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解知识的本质。在教学过程中应组织学生研究、讨论，培养学生的合作意识和能力，在合作中发现学习的乐趣，从而提高学生的学习兴趣，开发学生智力。

（4）对等差数列通项公式推导的教学设计说法不一

有的教师认为等差数列通项公式的推导思想非常重要，他不但有助于理解公式，而且在以后的解题中也会用到，但只要通过教师的讲解，加以适当的引导，学生便能掌握。而有的教师则持另一种观点，他们认为，等差数列通项公式的推导思想并不是很顺理成章，水到渠成的，单纯的讲解可能对有的学生来说很生涩，因此，有必要在这一教学环节设置适当的情境，启发与引导学生，这样才能达到更佳的教学效果。

（5）对等比数列的概念以及通项公式的教学，多种教学设计风格互不排斥

等比数列与等差数列虽然是两类不同的数列，但是它们在研究方法、性质上都有很多的共通之处。因此，等比数列的教学设计可以采用对比法，即在概念、性质、公式的教学过程当中对比着相应的等差数列的内容进行设计，这也符合心理学中顺应教学法。有了等差数列的教学设计基础，因此有的教师建议可采用类似等差数列相应知识的教学设计法，学生不但可以很容易接受等比数列的内容，还可以加深学生对等差数列的理解，但两种方法都各有自己的长处，教师可根据个人风格自己进行选择设计，当然如果将两种方法结合起来，针对不同的内容进行优化设计，可能会收到更好的效果。

（6）应该在教学设计过程中，适当地向学生介绍数学史的知识

数学史知识的引入不但能激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学文化底蕴，而且能让他们更加懂得有关知识的形成过程，比如实践应用的需要、知识本身发展的地需要等，从而提高学生的数学应用意识。

2.2 学生期望的数列的教学设计

教学设计的对象是学生，最终的着眼点是为了学生的发展，因此从学生的角度出发考虑教学设计变得尤其重要。

（1）对于等差数列的概念以及通项公式的教学设计，他们更希望教师能给自己更多的参与空间

比如对于等差数列概念的教学，他们更期望教师能先列举几个等差数列的例子，同学思考、讲解其特点，找出规律，从而总结出什么是等差数列。因为他们认为，高中生的他们已经初步具备了一定的数学思维，已经学会了用思考、分析、理解去解决问题这种求知的方式不仅能让他们体会知识的形成过程，能深刻的理解与记忆知识，而且能够提高他们分析问题、解决问题，以及战胜困难的能力。

（2）不同数学水平的学生，对等比数列教学设计的看法不同

对于学习中等偏上的学生，他们希望教师能够通过与等差数列相应知识来进行对比教学，这不但有助于他们深入的理解等差数列的性质特点，而且能够使他们深刻理解与掌握等比数列的知识；但对于成绩落后的学生来说，他们觉得这种对比教学设计法反而会让他们感觉更加迷惑，容易混淆知识点，因此他们更希望能采用类似等差数列相应知识的教学法进行设计。

（3）数学史知识的引入颇受学生欢迎

数学史知识的适当引入不但能活跃课堂气氛，调动大家学习的积极性，激发学生学习数学的兴趣，使枯燥的数学变得更加生动有趣，而且有助于他们更好的接纳新知识因此 89.5%的学生都希望能在课堂上听到教师讲述有关的数学史知识。

2.3 教材编订者对数列教学设计的关注点

教材编订者是对教材理念、教材设计思想的最权威把握，而教师要进行教学设计首先要把握教材，要把握教材就要懂得教材的理念，因此教材编订者的意见就显得尤为重要。

（1）注重数学的基础知识教学

知识是数学学科的基础与灵魂所在，因此“总的要求是使学生在正确理解数列这一概念的基础上，掌握等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，能够熟练地解决有关问题”。那么在讲解等差数列的性质时，教师要将等差数列的六条性质全部向学生交待清楚，并要求他们牢固掌握。

（2）注重对学生的启发教育

任何事物的产生都是有一定缘由的，数学知识也不例外，因此在教学过程中，应该尽可能向学生再现知识的发生过程。比如说等差数列概念的教学，为了让学生明白什么是等差数列，为什么要将等差数列这样定义，教师就可以在教学过程中先列举几个等差数列的例子，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义。这样让学生参与的课堂将是生动的课堂，而且很恰当地帮学生建立了知识体系，并帮助他们进行知识的记忆。

（3）注重知识的应用

新教材中加入了等差与等比数列研究性学习这一部分内容，目的在于教会学生将知识学以致用，用理论指导实践，而且培养了他们的合作意识、研究精神，这也是新理念所倡导的。

3．对数列教学设计的实践分析

实践是最好的问题发源地，何种类型的教学设计更容易让学生接受，更易知识的传授，对学生的发展有帮助，要通过实践才能得以验证，为此我在长春市第二实验中学旁观了“数列”这一章的教学过程，给了我很大的启发。

3.1 不存在“万能”的教学设计

对数列这一章的教学设计，不存在完全以“教”为中心，或以“学”为中心的极端教学设计风格。两种风格的教学设计，并不是是我非你，是你则非我的完全对立关系，并不是一定要肯定一方，而否定另一方，采用哪种模式的教学设计，要针对不同的教学内容进行选择。比如等差数列前 n 项和公式的推导课，我认真听取了二实验两位新教师对这一节课不同的诠释方法，第一位教师是基于以教师的教为中心的风格，第二位教师是基于以学生的学为中心，二者收到的效果也大相径庭。第一位教师以讲解为主，又由于本身能力所限，不能对学生进行很好的启发、诱导，因此很难将同学们的思路引到正确的路线上来，以至于同学们表现得不够积极，而且公式的推导也因为同学们的无法配合而显得过于生硬、艰难；第二位教师则将公式推导与梯形面积公式的证明联系起来，创设了恰当的教学情境，使公式的推导显得简单而水道渠成，而且同学们表现得也非常积极，教学效果非常好。但是对于等比数列的概念的教学，两种风格的教学设计若经过教师认真的思考，斟酌，都会是一个好的教学设计。

3.2 教学设计要关注学生的需要

教学设计最终是为学生服务的，而学生原有认知水平，认知结构，以及接受能力都会因人而异，对于水平相对弱一些的学生，如果把课堂教给他们，让他们自己去探索、发现知识可能会有一些困难，因此，这于这样的学生更适合传统的讲授式教学，这不但能让他们在尽可短的时间内掌握最基本的知识，而且通过强化，能帮助他们对知识的记忆。市二实验的学生接受能力不能算最优秀的，因此他们的老师在习题课教学过程中，往往将简单易处理的问题留给学生讨论，而有一定难度的题，则由教师进行讲解，做到了以从学生需要出了，收到了良好的教学效果。

3.3 教学设计还要尊重教师的教学习惯

对于有教学经验的老教师，他们经过多年的摸索、尝试，反思，已经沉淀出自己对特定知识的固有想法，而且这是被实践证明了的有效的方法。比如对于等差数的概念教学，某位特级教师就采用了以教为中心的教学风格：根据前一节所学知识（数列的通项公式），为了恰当地复习和引入本节课，也就是从承上启下的角度，在上课开始给出这样的一个题目：

已知数列{an}的通项公式是：an = 3n-2

（1）求a1，a2，a3，a4；

（2）求a2-a1，a3-a2，a4-a3，并由这三个式的值，猜想对任意的正整数n，都有an+1-an 值是否为同一个常数？如果是给出证明；如果不是，说明理由。

让学生从这个具体的题目中，初步体会到等差数列的本质特征，即“等差”。在这个短小精悍的情境设置当中学生既巩固到了上节课所学的内容，更重要的是比较轻松地感悟到等差数列的本质。

总之，进行数列的教学设计，不存在永恒的教学设计模式，选择哪种教学设计风格，以什么样的形式呈现给学生，既要考虑到教学内容的特点，又要考虑到学生的因素，当然还与教师的教学风格有关，要综合多种因素，因情况而定，但好的教学设计就是既达到知识的传授，又能对学生的能力发展有一定的促进作用。

参考文献：

[1] 孔凡哲，王汉岭．高中数学新课程创新教学设计[m]．长春：东北师范大学出版社，2005．

[2] 杨开城，李文光．教学设计理论的新框架[j]．北京：中国电化教育，2001

高中数学的知识点及公式 篇3

关键词：初等数论 教学 类比法 应用 分析

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0094-01

类比法作为一种有效的教学方法，其最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，从而达到加深学生对相关知识点认知与理解程度的目的。将其应用于初等数论教学中，不但有助于提高学生对相关知识点的掌握程度，同时还有助于形成良好的数学思维。本文试结合教学实践案例，对其做详细分析。

1 类比法应用于最大公因数教学

教师首先需要针对此项教学内容的课时进行细致安排，确保学生能够充分认识到有关“最大公因数”知识点的基本内容。在此基础之上，从基本概念、性质、计算方式以及特征等多个方面入手，以类比法为主要手段，引导学生自主认识到有关“最小公倍数”知识点的基本内容。教师应用类比法分析“最大公因数”知识点的过程中，可按照如下方式实施：

第一步：分析“最大公因数”基本定义：即对于整数a1，a2，…，an而言，与之相对应的公共因数可以定义为a1，a2，…，an的公因数。与此同时，对于不全为零的整数b1，b2，…，bn而言，其所有公因数当中，数值最大的公因数可定义为整数中的最大公因数。其具体的表达方式应当为：（b1，b2，…，bn）。同时，对于非零整数而言，与之相对应的因数个数是有限集。因此可以证实：最大公因数（b1，b2，…，bn）是实际存在，且为正整数。

第二步：研究“最大公因数”基本定理：即对于任何整数集a1，a2，…，an而言，满足如下等式：（1）：（a1，a2，…，an）=（|a1|，|a2|，…，|an|）；同时也满足（2）：（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|。同时，（a，b）=（b，a）。在此基础之上，若定义x，y，z当中，x为整数，y为素数，那么对于（y，x）而言，合理的取值结果可以分为两种情况：（1）是（y，x）=1；（2）是（y，x）=y|x。在此基础之上，若进一步应用类比法，定义a取值为（by+z），那么可以推断得出：（a，b）=（b，z）。

第三步：引导学生自主展开对“最大公因数”相关数值的求解：教师需要在教导学生认识如何应用类比法推断公式的基础之上，引导学生自主展开对相关知识点的求解。例如，在上一步骤教师所进行的教学过程当中，已得出了两个有关“最大公因数”的基本定义：（1）（a，1）=1；（a，0）=（a，a）=|a|；（2）定义a取值为（by+z），则有（a，b）=（b，z）。在上述两项“最大公因数”基本性质定理的基础之上，学生可以利用辗转相除法计算得出，在任意n个非零整数中的最大公因数数值。基于上述分析不难看出：在初等数论的教学过程当中，整数的整除理论可以说是教学的基础与根本所在。以类比法为手段，组织有关最大公因数的教学内容，能够在提高教学质量的同时，加深学生的理解。

2 类比法应用于同余式教学

在有关同余式性质以及等式基本性质知识点的研究过程当中，同样可借助于对类比法的合理应用，加深学生对于此项知识点的认知。在此过程当中，教师应用类比法方式展开教学的最主要目的：在于既体现同余式性质与等式基本性质联系的同时，比较上述两者之间存在的异同点。具体而言，可按照如下方式实施：

第一步：引导学生认识到固定模所对应同余式与常规等式之间的相同点。具体来说，对于固定模a而言，a自身所对应的同余式在如下几个方面与等式有着多处相同点。具体如下所示：

（1）首先，xy（mod a）所需要满足的最基本的充要条件为：x=y+at（且t∈Z）换句话来说，该充要条件还可进一步拓展成为：a|x-y；其次，对于存在同余关系的等式而言，有以下几个方面的算律是必须遵循的：同余关系从本质上来说属于一种特殊的等价关系。

（2）在对同余式进行加/减操作的过程当中，若定义xy（mod a），且满足zu（mod a）。联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如x±zy±u（mod a）；在对同余式进行相乘操作的过程当中，若同样定义xy（mod a），且满足zu（mod a）。联立上述同余式，则可以推断得出存在于x、y、z、u之间的对应关系：如xzyu（mod a）。

第二步：教师可以在得出上述基本算律的基础之上，就上述有关同余式进行加/减操作以及乘法操作过程当中所表现出的基本特点，建立相应的运算公式。但需要注意的是：对于同余式而言，消去律在常规意义上来说是不成立的。这也就是说：在基于xzyz（mod a）的基础之上，并无法准确的推断得出：xy（mod a）。教师需要在引导学生认识到上述问题的基础之上，采取类比方式，引导学生推断得出以下结果：即对于同余式“xzyz（mod a）”而言，可以判定的是：

xy（mod a/（a，z））

换句话来说，若在该同余式当中的（z，a）取值为1，那么上述等式可以直接简化成为“xy（mod a）”。这一过程当中所涉及到的基本定理就在于：当出现同余式两边公因数z与模a存在互素关系的情况下，则可以在该同余式两边直接约去公因数“z”，达到简化同余式的目的。基于上述分析不难发现：在将类比法应用于该知识点教学的过程当中，能够尽量避免同余式运算过程的抽象性，提高学生对于整个计算过程中以及数论知识的理解程度，同时加深记忆。

3 结语

类比法最为突出的优势在于，能够引导学生将不同的对象联系起来，达到加深学生对相关知识点认知与理解。这与初等数论教学的目的相吻合。本文结合相关教学案例，研究类比法在教学过程中的应用。

参考文献

[1] 原新生。突出师范特色改革初等数论教学[J].教育与职业，2006（8）：99-100.

[2] 蒋亦华。“初等数论”教学中的创造性思维训练与能力建构[J].大学数学，2006，22（3）：32-34.